双対図形 - 聖根のアジト

四角形の分類

四角形の4bit式分類

主要な四角形は以下のように、台形、外心四角形（円内接四角形）、内心四角形（円外接四角形）、
そして双線分錐にあたる図形（斜凧形と呼んではどうかと思ってます）の、4つの要素の組み合わせで表現できます。

他の四角形を用いても同様の表現ができますが、多分これが最も基本形になるかと思います。

双対図形の考え方により、台形と以下のように結びつきます。

台形、外心四角形、内心四角形と、もう一つ何を四角形の4番目の要素として考えるべきか、
長い間悩んだのですが、この図形は双角錐の二次元版にあたり、
かなり基本的な図形と言えるので、恐らくこれが妥当なのではないかと思います。

読み方は「しゃたこがた」では苦しいと思いますが、「凧」は国字らしく音読みは本来無いので、
「しゃたこけい」を崩して「しゃたっけい」、または「巾」の音読みを無理矢理あてて「しゃきんけい」はどうかと思います。
英語は「oblique kite」辺りはどうかと思います。

ただ、球面幾何学上で台形をどう定義するかが問題かもしれません。
また、後に紹介する2つの候補と異なり、3つの辺の長さが決まっても、4つ目の辺の長さは決まりません。

その他の台形の双対候補

四角形の4つの要素として、台形を用いるべきかどうかという問題もありますが、
台形を用いるとしたら、残りの一つはその双対になるはずだとうことで、
斜凧形の前に考えたものが以下となります。

球面幾何学上で台形をどう定義するかから考え、
2組の対辺を延長した交点の、角の二等分線の交点を双対の中心とする考え方です。
対角線ACの中点をPと置いて、PB=PDとなるような四角形ABCDとなります。
式は、辺abcdがa²+b²=c²+d²という、結構綺麗な形となります。

どちらの角を二等分するかによって以下のようになり、これは内心四角形と傍心四角形の関係と同質であると思います。

傍心四角形

四角形の4つの要素の候補として、傍心四角形も考えていました。

始まりは、台形ABCDの角がA+B=C+Dを満たしているので、
これに対して、辺abcdがa+b=c+dを満たす四角形はどうかと考えました。
これは、楕円の2つの焦点と、楕円周上の2点を交互に結ぶ形となります。

そしてこれは、傍心四角形の式に一致することに気付きました。
これにより逆に内心四角形も、双曲線を用いて以下のように表現できます。

ただ、台形と図の上で結びつく方法が見出せないのと、
傍心四角形は外心四角形（またはその延長線で表現できる無限遠の辺を持つ四角形）と
双対関係になってると解釈した方が自然そうなので、4つめの要素としては妥当ではないように思います。
式の形の類似性は、角度と長さはかなり異なる概念なので、たまたまなのではないかなと思います。

2025.5.11

図形等に戻る
 トップに戻る